Решение экономических задач методами линейной алгебры

Рассмотрим строку 2 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению: 

20

Из данного уравнения, найдем значение переменной x2 

Рассмотрим строку 1 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению: 

Из данного уравнения, найдем значение переменной x1 

Подставим, ранее найденное, значение переменной x2

Ответ :

x3 x4 - свободные переменные

в данном случае, система имеет бесконечное множество решений.

21

Задача 3.

Рассмотрим еще два примера из экономики на использование числа Е.

 Известно, что формула сложных процентов имеет вид

Где Q0 — первоначальная сумма вклада в банк, Р — процент начисления за определенный период времени (месяц, год), П — Количество периодов времени хранения вклада, Q — сумма вклада по истечении П периодов времени. Формулы типа (2.4) используются также в демографических расчетах (прирост народонаселения) и в прогнозах экономики (увеличение валового национального продукта). Пусть первоначальный депозит Q0 Помещен в банк под Р = 100% годовых, тогда через год сумма депозита составит 2Q0. Предположим, что через полгода счет закроется с результатом  И эта сумма будет вновь помещена в качестве депозита в том же банке. В конце года депозит будет составлять . Будем уменьшать срок размещения депозита в банке при условии его последующего размещения после изъятия. При ежеквартальном повторении этих операций депозит в конце года составит . Если повторять операцию изъятие-размещение в течение года сколько угодно раз, то при ежемесячном манипулировании сумма за год составит ; при ежедневном посещении банка ; при ежечасном —  и т. д. Нетрудно видеть, что последовательность значений возрастания первоначального вклада {Qn} = {Qn/Q0} как раз совпадает с последовательностью, пределом которой является число ε при П  согласно (2.4). Таким образом, доход, который можно получить при непрерывном начислении процентов, может составить за год не более чем

22

В общем случае, если Р — процент начисления и год разбит на N частей, то через T лет сумма депозита достигнет величины

Где R = Р/100. Это выражение можно преобразовать:

Мы можем ввести новую переменную  и при N  получим M , или

Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычислениями по непрерывным процентам.

 Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

Решение. Применение формулы сложных процентов дает

Где Q0 — первоначальная сумма, 182 — число дней в полугодии. Преобразуя это выражение, получаем

Т. е. инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

23

Заключение.

В заключение хотелось бы сказать, что в данной работе была рассмотрена лишь небольшая часть методов, используемых в экономике.

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.

Для достижения поставленной цели были использованы различные источники литературы. На практике рассмотрены решения экономических задач методами линейной алгебры.

1. 
   под редакцией профессора Н.Ш. Кремера «Высшая математика для экономистов» 3-е издание – ЮНИТИ, 2007
   
2. 
   Цысь Ю.В., Долгополова А.Ф. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 91-93;
   
3. 
   48 экзаменационных ответов по линейной алгебре: Е. В. Скрыдлова, О. О. Белова — Москва, Феникс, 2013 г.
   
4. 
   Линейная алгебра и аналитическая геометрия для экономистов. Учебник и практикум: И. В. Орлова, В. В. Угрозов, Е. С. Филонова — Санкт-Петербург, Юрайт, 2014 г.
   
5. 
   Линейная алгебра: И. А. Мальцев — Санкт-Петербург, Лань, 2010 г.
   
6. 
   Сборник задач по высшей математике. В 2 частях. Часть 1: В. Н. Земсков, В. В. Лесин, А. С. Поспелов, А. А. Прокофьев, Т. — Санкт-Петербург, Юрайт, 2012 г.
   
7. 
   Сборник задач по высшей математике. В 2 частях. Часть 2. Учебное пособие: — Санкт-Петербург, Юрайт, 2012 г.