6
Метод Гаусса.
Методом, наиболее удобным для практического нахождения решений систем с числовыми коэффициентами, является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса.
Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Рассмотрим решение системы (1.1) m линейных уравнений с n переменными в общем виде.
 (1.1)
Предположим, что в системе (1.1) коэффициент при переменной  в первом уравнении a11 ≠ 0 (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьёмся того, чтобы a11 ≠0).
Шаг 1. Умножая первое уравнение на подходящие числа (а именно на  и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему,…, m-му уравнению системы (1.1), исключим переменную  из всех последующих уравнений, начиная со второго. Получим
 (1.2)
7
Где буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.
Шаг 2. Предположим, что  (если это не так, то соответствующей перестановкой уравнений или переменных с изменением их номеров добьёмся того, чтобы  ). Умножая второе уравнение на подходящие числа ( ) и прибавляя полученные уравнения соответственно третьему, четвёртому, …, m-ному уравнению системы, исключим переменную  из всех последующих уравнений, начиная с третьего.
Продолжая процесс последовательного исключения переменных  ,…, , после (r-1)-го шага получим систему
 (1.3)
Число нуль в последних m-r уравнениях означает, что их левые части имеют вид 0* +0*  +…+0*  . Если хотя бы одно из чисел  не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (1.1) несовместна.
Таким образом, для любой совместной системы числа  в системе (1.3) равны нулю. В этом случае последние m-r уравнений в системе (1.3) являются тождествами и их можно не принимать во внимание при решении системы (1.1).
8
Очевидно, что после отбрасывания «лишних» уравнений возможны два случая: а) число уравнений системы (1.3) равно числу переменных, т.е. r = n (в этом случае система (1.3) имеет треугольный вид); б) r < n в этом случае система (1.3) имеет ступенчатый вид).
Переход системы (1.1) к равносильной ей системе (1.3) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (1.3) – обратным ходом.
Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов.
гаусс уравнение межотраслевой матрица вектор
9
Задача 1
а) Постановка задачи (основная задача межотраслевого баланса)
Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска  , который при известной матрице прямых затрат  обеспечивает заданный вектор конечного продукта  .
 –– общий (валовой) объём продукции  отрасли 
 –– коэффициенты прямых затрат в, показывающие затраты продукции  отрасли на производство единицы продукции  отрасли 
 — объём конечного продукта  отрасли для непроизводственного потребления.
Так как коэффициенты прямых затрат даны в процентах в задании 1 (ст.3), разделим их на 100. Получим:
Отрасли
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
|
1
|
0,04
|
0,15
|
0,8
|
0,10
|
470
|
|
2
|
0,06
|
0,16
|
0,04
|
0,02
|
604
|
|
3
|
0,05
|
0,08
|
0,04
|
0,12
|
225
|
|
4
|
0,03
|
0,09
|
0,16
|
0,04
|
323
|
|
Так как валовой объём продукции любой  отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой четырьмя отраслями, и конечного продукта, то:
10 (2.1)
Обозначим    
где  - вектор валового выпуска,  – вектор конечного продукта,  - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).
Запишем систему (2.1) в матричном виде:
 . (2.2)
 . (2.3)
б) Практическая часть
 .
Расширенная матрица системы имеет вид:
 .
Умножим расширенную матрицу системы на 100, чтобы избавиться от дробей. Получим:
11 .
Решим полученную систему методом Гаусса:
Решим систему уравнений
|
|
96
|
x1
|
-
|
15
|
x2
|
-
|
8
|
x3
|
-
|
10
|
x4
|
=
|
|
47000
|
-
|
6
|
x1
|
+
|
84
|
x2
|
-
|
4
|
x3
|
-
|
2
|
x4
|
=
|
|
60400
|
-
|
5
|
x1
|
-
|
8
|
x2
|
+
|
96
|
x3
|
-
|
12
|
x4
|
=
|
|
22500
|
-
|
3
|
x1
|
-
|
9
|
x2
|
-
|
16
|
x3
|
+
|
96
|
x4
|
=
|
|
32300
|
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду. На втором этапе решения (обратный ход) идет последовательное определение переменных из получившейся ступенчатой системы.
1.Определим ранг данной матрицы:
Мы будем оперировать только с коэффициентами системы.
Матрица строка, которая располагается между преобразованиями и есть строка, которую мы отнимаем.
Поменяем местами строки 1 и 4 .
12Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2 .
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 5/3 .
Из элементов строки 4 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -32 .
13
Поменяем местами строки 2 и 3 .
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 102/7 .
Из элементов строки 4 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -303/7 .
14
Из элементов строки 4 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на -8382/3079 .
Система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
В данном случае ранг основной и расширенной матрицы равен 4 .
2. Выразим: X1: X2; X3;X4 из матрицы ступенчатого вида:
Рассмотрим строку 4 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению:
|
5885882/3079
|
x4
|
=
|
|
2942941000/3079
|
|
|
|
x4
|
=
|
|
500
|
|
Рассмотрим строку 3 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению:
15
-
|
12316/7
|
x3
|
+
|
16186/7
|
x4
|
=
|
|
3166600/7
|
|
Из данного уравнения, найдем значение переменной x3
-
|
12316/7
|
x3
|
=
|
-
|
16186/7
|
x4
|
+
|
3166600/7
|
|
|
|
x3
|
=
|
|
8093/6158
|
x4
|
-
|
791650/3079
|
|
Подставим, ранее найденное, значение переменной x4
|
|
x3
|
=
|
|
8093/6158 * (
|
|
)
|
-
|
791650/3079
|
|
Рассмотрим строку 2 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению:
|
7
|
x2
|
+
|
368/3
|
x3
|
-
|
172
|
x4
|
=
|
-
|
94000/3
|
|
Из данного уравнения, найдем значение переменной x2
|
7
|
x2
|
=
|
-
|
368/3
|
x3
|
+
|
172
|
x4
|
-
|
94000/3
|
|
|
|
x2
|
=
|
-
|
368/21
|
x3
|
+
|
172/7
|
x4
|
-
|
94000/21
|
|
Подставим, ранее найденные, значения переменных x3 , x4
|
|
x2
|
=
|
-
|
368/21 * (
|
|
)
|
+
|
172/7 * (
|
|
)
|
-
|
94000/21
|
|
16
Рассмотрим строку 1 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению
-
|
3
|
x1
|
-
|
9
|
x2
|
-
|
16
|
x3
|
+
|
96
|
x4
|
=
|
|
32300
|
|
Из данного уравнения, найдем значение переменной x1
-
|
3
|
x1
|
=
|
|
9
|
x2
|
+
|
16
|
x3
|
-
|
96
|
x4
|
+
|
32300
|
|
|
|
x1
|
=
|
-
|
3
|
x2
|
-
|
16/3
|
x3
|
+
|
32
|
x4
|
-
|
32300/3
|
|
Подставим, ранее найденные, значения переменных x2 , x3 , x4
|
|
x1
|
=
|
-
|
3 * (
|
|
)
|
-
|
16/3 * (
|
|
)
|
+
|
32 * (
|
|
)
|
-
|
32300/3
|
|
Ответ :
|
|
x1
|
=
|
|
700
|
|
|
|
x2
|
=
|
|
800
|
|
|
|
x3
|
=
|
|
400
|
|
|
|
x4
|
=
|
|
500
|
|
Поделитесь с Вашими друзьями: |