Решение экономических задач методами линейной алгебры



Скачать 260.26 Kb.
страница3/5
Дата27.04.2018
Размер260.26 Kb.
Название файлаРЕФМАТ.docx
Учебное заведениеСибирский институт
ТипЗадача
1   2   3   4   5
6

Метод Гаусса.

Методом, наиболее удобным для практического нахождения решений систем с числовыми коэффициентами, является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса.

Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Рассмотрим решение системы (1.1) m линейных уравнений с n переменными в общем виде.



(1.1)
Предположим, что в системе (1.1) коэффициент при переменной в первом уравнении a11 ≠ 0 (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьёмся того, чтобы a11 ≠0).

Шаг 1. Умножая первое уравнение на подходящие числа (а именно на и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему,…, m-му уравнению системы (1.1), исключим переменную из всех последующих уравнений, начиная со второго. Получим
(1.2)

7

Где буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.



Шаг 2. Предположим, что (если это не так, то соответствующей перестановкой уравнений или переменных с изменением их номеров добьёмся того, чтобы ). Умножая второе уравнение на подходящие числа () и прибавляя полученные уравнения соответственно третьему, четвёртому, …, m-ному уравнению системы, исключим переменную из всех последующих уравнений, начиная с третьего.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных ,…,, после (r-1)-го шага получим систему


(1.3)
Число нуль в последних m-r уравнениях означает, что их левые части имеют вид 0*+0* +…+0* . Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (1.1) несовместна.

Таким образом, для любой совместной системы числа в системе (1.3) равны нулю. В этом случае последние m-r уравнений в системе (1.3) являются тождествами и их можно не принимать во внимание при решении системы (1.1).

8

Очевидно, что после отбрасывания «лишних» уравнений возможны два случая: а) число уравнений системы (1.3) равно числу переменных, т.е. r = n (в этом случае система (1.3) имеет треугольный вид); б) r < n в этом случае система (1.3) имеет ступенчатый вид).



Переход системы (1.1) к равносильной ей системе (1.3) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (1.3) – обратным ходом.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов.

гаусс уравнение межотраслевой матрица вектор

9

Задача 1


а) Постановка задачи (основная задача межотраслевого баланса)

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска , который при известной матрице прямых затрат обеспечивает заданный вектор конечного продукта .



–– общий (валовой) объём продукции отрасли

–– коэффициенты прямых затрат в, показывающие затраты продукции отрасли на производство единицы продукции отрасли

— объём конечного продукта отрасли для непроизводственного потребления.

Так как коэффициенты прямых затрат даны в процентах в задании 1 (ст.3), разделим их на 100. Получим:




Отрасли




1

2

3

4





1

0,04



0,15



0,8



0,10



470





2

0,06



0,16



0,04



0,02



604





3

0,05



0,08



0,04



0,12



225





4

0,03



0,09



0,16



0,04



323




Так как валовой объём продукции любой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой четырьмя отраслями, и конечного продукта, то:

10 (2.1)

Обозначим


где - вектор валового выпуска, – вектор конечного продукта, - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).

Запишем систему (2.1) в матричном виде:


. (2.2)

. (2.3)
б) Практическая часть
.


Расширенная матрица системы имеет вид:
.
Умножим расширенную матрицу системы на 100, чтобы избавиться от дробей. Получим:

11.

Решим полученную систему методом Гаусса:

Решим систему уравнений




http://www.reshmat.ru/images/znak_sistem.gif




96

x1

-

15

x2

-

8

x3

-

10

x4

=




47000

-

6

x1

+

84

x2

-

4

x3

-

2

x4

=




60400

-

5

x1

-

8

x2

+

96

x3

-

12

x4

=




22500

-

3

x1

-

9

x2

-

16

x3

+

96

x4

=




32300

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду. На втором этапе решения (обратный ход) идет последовательное определение переменных из получившейся ступенчатой системы.

1.Определим ранг данной матрицы:

Мы будем оперировать только с коэффициентами системы.



Матрица строка, которая располагается между преобразованиями и есть строка, которую мы отнимаем.


http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif




96







-

15







-

8







-

10







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif




47000







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif

-

6










84







-

4







-

2










60400







-

5







-

8










96







-

12










22500







-

3







-

9







-

16










96










32300












Поменяем местами строки 1 и 4 .




http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif

-

3







-

9







-

16










96







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif




32300







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif

-

6










84







-

4







-

2










60400







-

5







-

8










96







-

12










22500










96







-

15







-

8







-

10










47000













12Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2 .


http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif

-

6







-

18







-

32










192







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif




64600







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif




http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif

-

3







-

9







-

16










96







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif




32300







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif




0










102










28







-

194







-

4200







-

5







-

8










96







-

12










22500










96







-

15







-

8







-

10










47000












Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 5/3 .




http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif

-

5







-

15







-

80










3










160







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif




161500










3







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif




http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif

-

3







-

9







-

16










96







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif




32300







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif




0










102










28







-

194







-

4200










0










7










368










3







-

172







-

94000










3










96







-

15







-

8







-

10










47000












Из элементов строки 4 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -32 .




http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif




96










288










512







-

3072







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif

-

1033600







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif




http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif

-

3







-

9







-

16










96







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif




32300







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif




0










102










28







-

194







-

4200










0










7










368










3







-

172







-

94000










3










0







-

303







-

520










3062










1080600












13

Поменяем местами строки 2 и 3 .




http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif

-

3







-

9







-

16










96







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif




32300







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif




0










7










368










3







-

172







-

94000










3










0










102










28







-

194







-

4200










0







-

303







-

520










3062










1080600












Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 102/7 .




http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif




0










102










12512










7







-

17544










7







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif

-

3196000










7







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif




http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif

-

3







-

9







-

16










96







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif




32300







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif




0










7










368










3







-

172







-

94000










3










0










0







-

12316










7










16186










7










3166600










7










0







-

303







-

520










3062










1080600












Из элементов строки 4 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -303/7 .




http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif




0







-

303







-

37168










7










52116










7







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif




9494000










7







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif

14

http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif

-

3







-

9







-

16










96







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif




32300







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif




0










7










368










3







-

172







-

94000










3










0










0







-

12316










7










16186










7










3166600










7










0










0










33528










7







-

30682










7







-

1929800










7












Из элементов строки 4 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на -8382/3079 .




http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif




0










0










33528










7







-

135671052










21553







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif

-

26542441200










21553







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif




http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix1.gif


-

3







-

9







-

16










96







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix3.gif




32300







http://www.reshmat.ru/images/znak_matrix2.gif




0










7










368










3







-

172







-

94000










3










0










0







-

12316










7










16186










7










3166600










7










0










0










0










5885882










3079










2942941000










3079












Система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

В данном случае ранг основной и расширенной матрицы равен 4 .

2. Выразим: X1: X2; X3;X4 из матрицы ступенчатого вида:

Рассмотрим строку 4 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению:





5885882/3079

x4

=




2942941000/3079










x4

=




500




Рассмотрим строку 3 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению: 
15

-

12316/7

x3

+

16186/7

x4

=




3166600/7



Из данного уравнения, найдем значение переменной x3 




-

12316/7

x3

=

-

16186/7

x4

+

3166600/7













x3

=




8093/6158

x4

-

791650/3079



Подставим, ранее найденное, значение переменной x4










x3

=




8093/6158 * (




500







)

-

791650/3079













x3

=




400



Рассмотрим строку 2 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению: 







7

x2

+

368/3

x3

-

172

x4

=

-

94000/3



Из данного уравнения, найдем значение переменной x2 







7

x2

=

-

368/3

x3

+

172

x4

-

94000/3













x2

=

-

368/21

x3

+

172/7

x4

-

94000/21



Подставим, ранее найденные, значения переменных x3 , x4









x2

=

-

368/21 * (




400







)

+

172/7 * (




500







)

-

94000/21













x2

=




800




16

Рассмотрим строку 1 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению




-

3

x1

-

9

x2

-

16

x3

+

96

x4

=




32300



Из данного уравнения, найдем значение переменной x1 




-

3

x1

=




9

x2

+

16

x3

-

96

x4

+

32300













x1

=

-

3

x2

-

16/3

x3

+

32

x4

-

32300/3



Подставим, ранее найденные, значения переменных x2 , x3 , x4










x1

=

-

3 * (




800







)

-

16/3 * (




400







)

+

32 * (




500







)

-

32300/3













x1

=




700




Ответ :








x1

=




700










x2

=




800










x3

=




400










x4

=




500






Скачать 260.26 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5

Похожие:

Решение экономических задач методами линейной алгебры iconБриф на разработку сайта
Оказание услуг по написанию рефераративных работ, написание отчетов по практике, решение тестов, дипломных работ, диссертаций, решение...
Решение экономических задач методами линейной алгебры iconЛекция 1: Математическое моделирование. Форма и принципы представления математических моделей
Оиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных...
Решение экономических задач методами линейной алгебры iconН. А. Стахин пример использования компьютерной алгебры maxima в дисциплине «компьютерное моделирование»
Традиционно изучаемой в дисциплине «Компьютерное моделирование». Maxima позволяет получить аналитическое решение нелинейного диффе-ренциального...
Решение экономических задач методами линейной алгебры iconРешение задач линейного программирования графическим методом
Цель работы: изучить метод решения задач линейного программирования графическим методом
Решение экономических задач методами линейной алгебры icon«Информационные технологии в менеджменте»
Курса предусматривает формирование и развитие аналитического мышления при решении различного рода статистических, расчетно-экономических...
Решение экономических задач методами линейной алгебры iconРешение задач по теме " Основы мкт "
Урок способствует развитию интереса к предмету, выработать внимание, трудолюбие, стремление к познанию окружающего мира
Решение экономических задач методами линейной алгебры iconРешение следующего комплекса задач: Основные положения сертификации
Объектом являются задачи, цели, принципы и современные методы стандартизации в зарубежных странах
Решение экономических задач методами линейной алгебры iconВср №1 Написание реферата по темам раздела 2
Вср №4 Решение ситуационных задач по аудиторской проверке начисления амортизации ос
Решение экономических задач методами линейной алгебры iconДенежно-кредитное регулирование экономики
...
Решение экономических задач методами линейной алгебры iconРешение типовых задач
Распределить полные и удельные потери в стали магнитной цепи для динамической петли гистерезиса, полученной на частоте 400 Гц. Объем...




База данных защищена авторским правом ©refnew.ru 2020
обратиться к администрации

    Главная страница
Контрольная работа
Курсовая работа
Теоретические основы
Методические указания
Методические рекомендации
Лабораторная работа
Рабочая программа
Общая характеристика
Теоретические аспекты
Учебное пособие
Практическая работа
История развития
Пояснительная записка
Дипломная работа
Самостоятельная работа
Общие положения
Экономическая теория
Методическая разработка
Физическая культура
Методическое пособие
Исследовательская работа
Направление подготовки
Общая часть
Теоретическая часть
Общие сведения
Техническое задание
Общие вопросы
Образовательная программа
Управления государственных
Федеральное государственное
Экономическая безопасность
Конституционное право
реакция казахского
Основная часть
Организация работы
Техническое обслуживание
Российская академия
Понятие сущность
Усиление колониальной
прохождении производственной
Обеспечение безопасности
программное обеспечение
Выпускная квалификационная
квалификационная работа
муниципальное управление
Теория государства
Уголовное право
Математическое моделирование
Административное право
Название дисциплины
Земельное право