Решение экономических задач методами линейной алгебры

Скачать 260.26 Kb.

страница	3/5
Дата	27.04.2018
Размер	260.26 Kb.
Название файла	РЕФМАТ.docx
Учебное заведение	Сибирский институт
Тип	Задача

1 2 3 4 5

6

Метод Гаусса.

Методом, наиболее удобным для практического нахождения решений систем с числовыми коэффициентами, является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса.

Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Рассмотрим решение системы (1.1) m линейных уравнений с n переменными в общем виде.

(1.1)
Предположим, что в системе (1.1) коэффициент при переменной

в первом уравнении a11 ≠ 0 (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьёмся того, чтобы a11 ≠0).

Шаг 1. Умножая первое уравнение на подходящие числа (а именно на

и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему,…, m-му уравнению системы (1.1), исключим переменную

из всех последующих уравнений, начиная со второго. Получим

(1.2)

Где буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.

Шаг 2. Предположим, что

(если это не так, то соответствующей перестановкой уравнений или переменных с изменением их номеров добьёмся того, чтобы

). Умножая второе уравнение на подходящие числа (

) и прибавляя полученные уравнения соответственно третьему, четвёртому, …, m-ному уравнению системы, исключим переменную

из всех последующих уравнений, начиная с третьего.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных ,…,, после (r-1)-го шага получим систему

(1.3)
Число нуль в последних m-r уравнениях означает, что их левые части имеют вид 0*

+0*

+…+0*

. Если хотя бы одно из чисел

не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (1.1) несовместна.

Таким образом, для любой совместной системы числа в системе (1.3) равны нулю. В этом случае последние m-r уравнений в системе (1.3) являются тождествами и их можно не принимать во внимание при решении системы (1.1).

Очевидно, что после отбрасывания «лишних» уравнений возможны два случая: а) число уравнений системы (1.3) равно числу переменных, т.е. r = n (в этом случае система (1.3) имеет треугольный вид); б) r < n в этом случае система (1.3) имеет ступенчатый вид).

Переход системы (1.1) к равносильной ей системе (1.3) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (1.3) – обратным ходом.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов.

гаусс уравнение межотраслевой матрица вектор

Задача 1

а) Постановка задачи (основная задача межотраслевого баланса)

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска , который при известной матрице прямых затрат обеспечивает заданный вектор конечного продукта .

–– общий (валовой) объём продукции

отрасли

–– коэффициенты прямых затрат в, показывающие затраты продукции

отрасли на производство единицы продукции

отрасли

— объём конечного продукта

отрасли для непроизводственного потребления.

Так как коэффициенты прямых затрат даны в процентах в задании 1 (ст.3), разделим их на 100. Получим:

Отрасли	1	2	3	4
1	0,04	0,15	0,8	0,10	470
2	0,06	0,16	0,04	0,02	604
3	0,05	0,08	0,04	0,12	225
4	0,03	0,09	0,16	0,04	323

Так как валовой объём продукции любой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой четырьмя отраслями, и конечного продукта, то:

10 (2.1)

Обозначим

где

- вектор валового выпуска,

– вектор конечного продукта,

- матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).

Запишем систему (2.1) в матричном виде:

. (2.2)

. (2.3)
б) Практическая часть

Расширенная матрица системы имеет вид:

.
Умножим расширенную матрицу системы на 100, чтобы избавиться от дробей. Получим:

11.

Решим полученную систему методом Гаусса:

Решим систему уравнений

	96	x1	-	15	x2	-	8	x3	-	10	x4	=	47000
-	6	x1	+	84	x2	-	4	x3	-	2	x4	=	60400
-	5	x1	-	8	x2	+	96	x3	-	12	x4	=	22500
-	3	x1	-	9	x2	-	16	x3	+	96	x4	=	32300

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду. На втором этапе решения (обратный ход) идет последовательное определение переменных из получившейся ступенчатой системы.

1.Определим ранг данной матрицы:

Мы будем оперировать только с коэффициентами системы.

Матрица строка, которая располагается между преобразованиями и есть строка, которую мы отнимаем.

47000

60400

22500

32300

Поменяем местами строки 1 и 4 .

32300

60400

22500

47000

12Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2 .

192

64600

32300

102

194

4200

22500

47000

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 5/3 .

-	80

3

160

		161500

3

32300

102

194

4200

		368

3

172

-		94000

3

47000

Из элементов строки 4 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -32 .

288

512

3072

1033600

32300

102

194

4200

		368

3

172

-		94000

3

303

520

3062

1080600

13

Поменяем местами строки 2 и 3 .

32300

		368

3

172

-		94000

3

102

194

4200

303

520

3062

1080600

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 102/7 .

102

		12512

7

-		17544

7

-		3196000

7

32300

		368

3

172

-		94000

3

-		12316

7

		16186

7

		3166600

7

303

520

3062

1080600

Из элементов строки 4 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -303/7 .

303

-		37168

7

		52116

7

		9494000

7

32300

		368

3

172

-		94000

3

-		12316

7

		16186

7

		3166600

7

		33528

7

-		30682

7

-		1929800

7

Из элементов строки 4 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на -8382/3079 .

		33528

7

-		135671052

21553

-		26542441200

21553

32300

		368

3

172

-		94000

3

-		12316

7

		16186

7

		3166600

7

		5885882

3079

		2942941000

3079

Система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

В данном случае ранг основной и расширенной матрицы равен 4 .

2. Выразим: X1: X2; X3;X4 из матрицы ступенчатого вида:

Рассмотрим строку 4 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению:

5885882/3079

2942941000/3079

500

Рассмотрим строку 3 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению:
15

12316/7

16186/7

3166600/7

Из данного уравнения, найдем значение переменной x3

12316/7

16186/7

3166600/7

8093/6158

791650/3079

Подставим, ранее найденное, значение переменной x4

8093/6158 * (

500

)

791650/3079

400

Рассмотрим строку 2 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению:

368/3

172

94000/3

Из данного уравнения, найдем значение переменной x2

368/3

172

94000/3

368/21

172/7

94000/21

Подставим, ранее найденные, значения переменных x3 , x4

368/21 * (

400

)

172/7 * (

500

)

94000/21

800

Рассмотрим строку 1 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению

32300

Из данного уравнения, найдем значение переменной x1

32300

16/3

32300/3

Подставим, ранее найденные, значения переменных x2 , x3 , x4

3 * (

800

)

16/3 * (

400

)

32 * (

500

)

32300/3

700

Ответ :

x1	=	700
x2	=	800
x3	=	400
x4	=	500

Скачать 260.26 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:

1 2 3 4 5

Похожие:

	Бриф на разработку сайта Оказание услуг по написанию рефераративных работ, написание отчетов по практике, решение тестов, дипломных работ, диссертаций, решение...		Лекция 1: Математическое моделирование. Форма и принципы представления математических моделей Оиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных...
	Н. А. Стахин пример использования компьютерной алгебры maxima в дисциплине «компьютерное моделирование» Традиционно изучаемой в дисциплине «Компьютерное моделирование». Maxima позволяет получить аналитическое решение нелинейного диффе-ренциального...		Решение задач линейного программирования графическим методом Цель работы: изучить метод решения задач линейного программирования графическим методом
	«Информационные технологии в менеджменте» Курса предусматривает формирование и развитие аналитического мышления при решении различного рода статистических, расчетно-экономических...		Решение задач по теме " Основы мкт " Урок способствует развитию интереса к предмету, выработать внимание, трудолюбие, стремление к познанию окружающего мира
	Решение следующего комплекса задач: Основные положения сертификации Объектом являются задачи, цели, принципы и современные методы стандартизации в зарубежных странах		Вср №1 Написание реферата по темам раздела 2 Вср №4 Решение ситуационных задач по аудиторской проверке начисления амортизации ос
	Денежно-кредитное регулирование экономики ...		Решение типовых задач Распределить полные и удельные потери в стали магнитной цепи для динамической петли гистерезиса, полученной на частоте 400 Гц. Объем...