Матрицы и их применение.
В современной экономике используется множество математических методов, разработанных ещё в 20 веке. Применение линейной алгебры значительно упростило решение многих экономических задач. В данной работе рассматриваются основные способы решения задач с помощью элементов линейной алгебры.
Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют большое значение для экономистов, основная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в простой и компактной матричной форме. С помощью матриц удобно описывать различные экономические закономерности. Например, дана следующая таблица средних розничных цен на автомобили в зависимости от срока их службы (условных единиц).
Продолжительность службы (годы)
|
Годы
|
|
2005
|
2006
|
2007
|
1
|
1881
|
2120
|
2445
|
2
|
1512
|
1676
|
1825
|
3
|
1261
|
1397
|
1484
|
4
|
1054
|
1144
|
1218
|
Предложенную таблицу можно записать в виде матрицы следующим образом:
где содержательное значение каждого показателя определяется его местом в матрице. К примеру, число 1825 во второй строке третьего столбца представляет собой цену прослужившего 2 года автомобиля в 2007 году. Аналогичным образом находим, что числа, записанные в строку, характеризуют цены автомобилей, прослуживших один и тот же срок в различные годы, а числа в столбце – цены автомобилей различного срока службы в данном году.
Таким образом, место, занимаемое числом в матрице, характеризует продолжительность использования автомобиля и год, к которому относится
4
цена.
Применение матриц при решении экономических задач рассмотрим на следующем примере. Предприятие выпускает продукцию трех видов P1, P2, P3 и использует сырье двух типов: S1, S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей:
где каждый элемент aij (i = 1, 2, 3; j = 1,2) показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой C = (100 80 130).Стоимость единицы каждого типа сырья (денежных единиц) – матрицей-столбцом . Необходимо найти общую стоимость сырья.
Решение: Затраты первого сырья составляют S1 = 2∙100 + 5∙80 + 1∙130 = 730единиц, а второго S2 = 3∙100 + 2∙80 + 4∙130 = 980 единиц. Значит затраты сырья S могут быть записаны в виде матрицы строки (730 980) и произведения:
Общая стоимость сырья
Q = 730∙30 + 980∙50 = 70900 (денежных единиц)
может быть записана в следующем виде:
Q = S∙B = (CA)B = (70900).
Вывод: общая стоимость сырья составляет 70900.
Также экономические задачи можно решать с помощью систем линейных уравнений.
Рассмотрим и решим с помощью системы линейных уравнений следующую задачу:
Из определенного листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:
5
Тип заготовки
|
Способ раскроя
|
1
|
2
|
3
|
А
|
3
|
2
|
1
|
Б
|
1
|
6
|
2
|
В
|
4
|
1
|
5
|
Записать в математической форме условия выполнения задания.
Решение: Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3 заготовок типа А, при втором – 2y, при третьем – z. Для полного выполнения задания по заготовкам типа А должно выполняться равенство:
.
Таким же способом получаем уравнения:
Имеем систему:
Данным уравнениям должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В.
Поделитесь с Вашими друзьями: |