Свойства функций и последовательностей, имеющих предел

1. 
   Предел постоянной функции (или последовательности) равен этой постоянной, т. е.
   

2. 
   Если предел функции (последовательности) существует, то он единствен.
   

Функция, ограниченная сверху и снизу в , называется ограниченной в . Если  не упоминается, то подразумевается, что =R.

1) Функция ограничена, т. к. для всех x.

2) Функция ограничена снизу, но не сверху. На промежутке она ограничена.

Определение. Последовательность называется ограниченной (сверху, снизу), если найдётся такое С, что для всех , , (или , или ).

Примеры:

1. – ограничена.

2. – ограничена снизу.

1. 
   Если функция имеет предел , то она ограничена в некоторой окрестности точки a .
   

1. 
   Любая последовательность, имеющая предел, ограничена.
   

(а, ), если для любых из этого интервала выполняется неравенство

Если , имеет место

то такая функция называется невозрастающей (убывающей) в (а, ). Такие функции называют монотонными на (а; ).

1. 
   Любая постоянная функция или последовательность не возрастает и не убывает.
   

Здесь число может быть равным +, тогда рассматривается .

Рис.6

Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то существует и число , что

Рис.7
Сформулируйте и докажите аналогичные утверждения для последовательностей.

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление, М.: Наука, 1988г.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов, М.: Наука, 1985г.

3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1,2, М.; Высшая школа, 1981г.