Лекция 1 Введение в математический анализ Предмет математики. Переменные и постоянные величины, множества. Множество действительных чисел

Ясно, что множество Х ограничено, если , так как .

Неограниченное множество Х можно определить так: множество Х неограниченно .

Пример. – ограниченное множество – ограничено, если и конечны, и не ограничено, если .
1.1.4. Действительные числа. В этом курсе будем изучать множества, элементами которого являются действительные числа.

Понятие числа является первичным и основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития.

Множество натуральных чисел.

N={1,2,3,…..} появилось в связи со счетом предметов.

Затем под влиянием практики и развитии самой математики были введены целые числа.

Z={-3,-2,-1,0,1,,2,3,…….} и рациональные числа Q={m/n} m, nZ, n0.

Введение рациональных чисел, полностью не решило важнейшей практической задачи об измерении отрезков. Ведь длина отрезка не всегда является рациональным числом.

В связи с этим появилась необходимость введения иррациональных чисел.

Существуют различные способы введения действительных чисел.

Остановимся на случае представлении их в виде бесконечных десятичных дробей

=

Каждое не равное нулю рациональное число можно разложить в бесконечную десятичную периодическую дробь.

Пример: =0,6333…..=0,6(3).

Иррациональное число – произвольная бесконечная непериодическая дробь

Где -целое неотрицательное число, а (=1,2,…..)

Пример:

Следовательно, всякое не равное нулю, действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби.

Для действительных чисел можно определить арифметические операции – сложение, вычитание, умножение и деление, которые удовлетворяют основным свойствам.

1.Свойство порядка.

Для каждой пары действительных чисел имеет место одно из соотношений:

1) a=b ab.