Ограничено снизу, если число т такое, что .
Ограничено, если оно ограничено как сверху, так и снизу. В противном случае, оно называется неограниченным.
Ясно, что множество Х ограничено, если , так как .
Неограниченное множество Х можно определить так: множество Х неограниченно .
Пример. – ограниченное множество – ограничено, если и конечны, и не ограничено, если .
1.1.4. Действительные числа. В этом курсе будем изучать множества, элементами которого являются действительные числа.
Понятие числа является первичным и основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития.
Множество натуральных чисел.
N={1,2,3,…..} появилось в связи со счетом предметов.
Затем под влиянием практики и развитии самой математики были введены целые числа.
Z={-3,-2,-1,0,1,,2,3,…….} и рациональные числа Q={m/n} m, nZ, n0.
Введение рациональных чисел, полностью не решило важнейшей практической задачи об измерении отрезков. Ведь длина отрезка не всегда является рациональным числом.
В связи с этим появилась необходимость введения иррациональных чисел.
Определение 9.Произвольные числа - рациональные и иррациональные называются действительными или вещественными числами и обозначаются буквой R.
Существуют различные способы введения действительных чисел.
Остановимся на случае представлении их в виде бесконечных десятичных дробей
=
Каждое не равное нулю рациональное число можно разложить в бесконечную десятичную периодическую дробь.
Пример: =0,6333…..=0,6(3).
Иррациональное число – произвольная бесконечная непериодическая дробь
Где -целое неотрицательное число, а ( =1,2,…..)
Пример:
Следовательно, всякое не равное нулю, действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби.
Для действительных чисел можно определить арифметические операции – сложение, вычитание, умножение и деление, которые удовлетворяют основным свойствам.
1.Свойство порядка.
Для каждой пары действительных чисел имеет место одно из соотношений:
1) a=b ab.
2) Из a
3) Если a
2. Свойства действий сложения и вычитания: переместительное или коммутативное; сочетательное или ассоциативное; существование 0; существование противоположногочисла (-а);
Число а+(-в) естественно назвать разностью а-в, а соответствующее действие вычитанием.
3. Свойство действий умножения и деления: переместительное или коммутативное; сочетательное или ассоциативное; распределительное или дистрибутивное; существование 1; обратного числа a.
Число ab естественно назвать частным и записывать ab, а соответствующее действие делением.
4. Архимедово свойство. Каково бы не было число c‚ натуральное число n c.
Из архимедова свойства следует, что, каково бы ни было положительное число , всегда можно указать такое натуральное n, что выполняется неравенство n .
5. Если последовательность действительных чисел не убывает и ограничена сверху числом М, то существует число a, к которому эта последовательность стремиться:
Литература.
1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление, М.: Наука, 1988г.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов, М.: Наука, 1985г.
3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1,2, М.; Высшая школа, 1981г.
4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров, М.; Высшая школа, 1997г.
Поделитесь с Вашими друзьями: |