Тема: Делимость чисел (13ч, §1, С. 4-24)

В курсе математики 5–6 класса можно выделить следующие основные содержательные линии: арифметика, элементы алгебры, вероятность и статистика, наглядная геометрия. Это во многом определяет и построение уроков в рамках каждой отдельной темы.

Содержание линии «Арифметика» служит фундаментом для дальнейшего изучения учащимся математики и смежных дисциплин, способствует развитию не только вычислительных навыков, но и логического мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами, способствует развитию умений планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение различных задач, а также приобретению практических навыков, необходимых в повседневной жизни.1-20, 22, 25-37, 39, 41,42, 46, 47, 50, 5556-58, 60-73, 75-83, 85-89, 92-106, 109-113, 115-123, 125, 128, 129, 131-135, 138, 139, 141-143, 146, 148-155, 157-162, 165-168, 170-172, 174-177, 181-183, 185-186, 188-190, 193, 195-200, 202, 204, 205, 207-209

Содержание линии «Элементы алгебры» нацелено на формирование математического аппарата для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Систематизирует знания о математическом языке, показывая применение букв для обозначения чисел и записи свойств арифметических действий, а также для нахождения неизвестных компонентов арифметических действий. 21, 38, 40, 43- 45, 48, 49, 51, 52,54,59, 74, 84, 90, 91, 98, 124, 126, 130, 144, 145, 147, 169, 178, 179, 180, 187, 192, 201, 203, 206, 210

Содержание линии «Наглядная геометрия» способствует приобретению конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формированию языка описания объектов окружающего мира, развитию пространственного воображения и интуиции, математической культуры, эстетическому воспитанию учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства. 107, 127, 136, 140, 156, 163, 164, 173, 191

Линия Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей – обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования у учащегося функциональной грамотности – умения воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты.23, 24, 53,108, 114, 137, 184, 194

Параграф 1 первой главы учебника «Математика 6» « Делимость чисел» хорошо готовит к изучению дробей.

В этом параграфе даётся обобщение и систематизация математического материала 5-го класса, но на более высоком уровне. Повторяются понятия множества натуральных, целых и дробных чисел, определение чётного, нечётного числа, обыкновенной дроби и действия над обыкновенными дробями. Для начала изучения темы учащиеся должны свободно владеть этими понятиями (в рамках изученного в 5 классе). Знания и умения, усвоенные при изучении этого параграфа являются базовыми для прохождения всех последующих тем, связанных с действиями с обыкновенными дробями, имеющими разные знаменатели:

$2 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

п.8 Основное свойство дробип.9 Сокращение дробейп.10 Приведение дробей к общему знаменателюп.11 Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателямип.12 Сложение и вычитание смешанных чисел

$3Умножение и деление обыкновенных дробей.п.13 Умножение дробейп.14 Нахождение дроби от числа

п.15. Применение распределительного свойства умноженияп.16 Взаимно обратные числап.17 Делениеп.18 Нахождение числа по его дробип.19 Дробные выражения

Главная цель — формирование осмысленных действий, доказательность каждого шага в решении. Особенно важно, что учебник содержит образцы рассуждений, обучающие более рациональному ходу рассуждения и получения ответа.

В ходе изучения этой главы учащиеся:

- знакомятся с понятиями «делитель» и «кратное» натурального числа, значит, прежде, чем приступить к изучению темы, необходимо будет актуализировать известное с 5 класса понятие «делитель» и понятие кратности.

- изучают признаки делимости чисел на 2, на 5, на 3 и на 9, получают возможность задуматься о комбинировании изученных ими признаков и свойств делимости. В учебнике данные признаки выводятся с опорой на частные примеры, этот подход можно использовать в менее подготовленных классах; Признаки вводятся впервые и в учебнике даются в готовом виде, без приведения доказательств. Однако, эти темы хорошо подходят для тренировки умения выдвигать гипотезы, подбирать аргументы для их подтверждения или опровержения, строить доказательство и контролировать истинность полученного результата.

- знакомятся с определениями простого и составного чисел, используя признаки делимости, доказывают, что число является составным, формируют способность к распознаванию простых и составных чисел;

- учатся выполнять разложение чисел на простые множители. В этом пункте происходит развитие заложенного еще в 5 классе умения составлять алгоритм действия, выполнять алгоритм и проверять с его помощью истинность полученного результата.

- учатся находить общие делители чисел, рассматривают примеры нахождения наибольшего общего делителя; формируют способность построения алгоритма нахождения наибольшего общего делителя, знакомятся с определением взаимно простых чисел;

- формируют способность построения алгоритма нахождения наименьшего общего кратного чисел с помощью разложения на простые множители, находят наименьшее общее кратное взаимно простых чисел;

- знакомятся с историческими сведениями по данной теме, применяют способ Эратосфена для отыскания простых чисел, решают занимательные задачи по теме.

- Решают геометрические задачи, связанные с понятием кратности, делителя, простого и натурального числа, на развитие пространственного воображения.

- Выполняют перебор всех возможных вариантов для пересчета объектов или комбинаций, выделяют комбинации, отвечающие заданным условиям. Вычисляют факториалы.

- решают текстовые задачи арифметическими способами.

Задачный материал содержит упражнения для работы в классе, материал для повторения, предназначенный для проведения самостоятельных работ и задания для выполнения дома. По уровню сложности можно выделить задания базового уровня, повышенной сложности и задачи для поисковой и исследовательской работы. Представлены вопросы теоретического характера.

Теоретический материал темы можно условно разделить на три блока.

1. 
   Теоретические понятия, связанные с понятием числа, или с операциями, производимыми над одним числом
   
2. 
   Теоретические понятия, связанные с операциями над группами чисел
   
3. 
   Теоретические понятия или практические действия, результатом усвоения которых являются алгоритмы работы с числом и группами чисел
   

Далее, работая с составными числами, изучаются признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9 и формулируется определение понятие множителя.

Понятия натуральное число, делимость чисел, простое число, составное число, множитель относятся к первой группе.

Знания и навыки, получаемые при изучении признаков делимости на определенное число, связаны не с выводом теоретического понятия. Это, скорее, операциональная составляющая знания, позволяющая получить алгоритм, который будет активно использоваться на последующих уроках. Поэтому дидактическую единицу признаки делимости отнесем к 3-ей группе. К ней же относятся и умение раскладывать числа на простые множители.

Все эти знания являются базой для работы с группами чисел и выведения таких понятий, как взаимно простые числа, НОД и НОК.

Эти понятия относятся ко второй группе и являются фундаментом для изучения целого блока материала, связанного с действиями над обыкновенными дробями с разными знаменателями.

Понятия темы выводятся в учебнике методом индукции: от частного к общему, через иллюстрации посредством частных примеров. Для более глубокого понимания можно стимулировать детей находить доказательства истинности понятий, самостоятельно строить алгоритмы.

Задачи и цели изучения темы «Делимость чисел»

Основная учебная задача изучения темы состоит в том, что учащиеся должны научиться давать определения понятиям, доказывать их истинность, выводить алгоритм математического действия и уметь с его помощью выполнять и контролировать правильность выполнения действия. Эта задача согласно со структурой теоретического материала разбивается на две:

1) Определение понятия множители и получение алгоритма разложения числа на простые множители.

2) Определение понятий НОД и НОК, выведение алгоритмов нахожденияНОД и НОК.

По окончании изучения темы:

Ученик воспроизводит

• 
  Формулировки определений делителя и кратного, простого и составного числа, множителя;
  
• 
  Формулировки определений понятий НОД и НОК
  
• 
  Признаки делимости.
  

Ученик понимает:

• 
  Как доказывать и опровергать с помощью контрпримеров утверждения о делимости чисел.
  
• 
  Принципы доказательств делимости на 2, 5, 10, 3, 9
  
• 
  Принцип построения алгоритма разложения чисел на простые множители
  
• 
  Принципы построения алгоритмов нахождения НОД и НОК
  

• 
  Классифицировать натуральные числа (четные и нечетные, по кратности 3 и т. п.).
  
• 
  Исследовать простейшие числовые закономерности, проводить числовые эксперименты (в том числе с использованием калькулятора, компьютера)
  
• 
  Производить разложение чисел на простые множители
  
• 
  Находить НОД и НОК
  
• 
  Верно использовать в речи термины: делитель, кратное, наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное, простое число, составное число, четное число, нечетное число, взаимно простые числа, числа-близнецы, разложение числа на простые множители.